ÜÇGENLER

TANIM: Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği şekle üçgen denir.

KÖŞELERİ:
A, B ve C noktaları üçgenin köşeleridir.

KENARLARI:
[AB], [BC] ve [AC] üçgenin kenarlarıdır.

KENAR UZUNLUKLARI:
a, b ve c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

ÜÇGENLERİN KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ (ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ)

TANIM: Bir üçgende bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir.

Yukarıdaki ABC üçgeni için:

a + b > c > |a−b|

a + c > b > |a−c|

b + c > a > |b−c| olur.

ÖRNEK: Aşağıdaki mavi, kırmızı ve siyah çubukları uç uca ekleyerek üçgen oluşturulabilir mi?

Üç tane doğru parçasını uç uca ekleyerek üçgen elde etmek istiyorsak bu doğru parçalarından herhangi birinin uzunluğu, diğer ikisinin uzunluğunun toplamından kısa, farkından uzun olmalıdır.

Düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle elde edilen geometrik şekle üçgen denir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen uzunluklara göre belirtilen üçgenlerin çizilip çizilemeyeceğini bulalım.

1) |AB| = 8 cm , |AC| = 4 cm , |BC| = 10 cm olan bir ABC üçgeni:

İki kenarı toplar, diğer kenardan büyük mü diye bakarız.

8+4 = 12 > 10

8+10 = 18 > 4

4+10 = 14 >8

olduğu için çizilebilir.

2) |DE| = 3 m , |EF| = 5,5 m , |DF| = 9 m olan bir DEF üçgeni:

3 + 5,5 = 8,5 > 9 (8,5 sayısı 9’dan büyük değildir.)

5,5 + 9 = 14,5 > 3

3 + 9 = 12 > 5,5

olduğu için çizilemez.

ÖRNEK: Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 15 cm, 12 cm ise diğer kenarının uzunluğu kaç cm olabilir?

Verilmeyen kenarın uzunluğuna x dersek bu kenarın uzunluğuna dair üçgen eşitsizliğini yazarız.

15 + 12 > x > 15 − 12

27 > x > 3

Bu kenarın uzunluğu 27 cm ile 3 cm arasında olabilir.

ÖRNEK:

ÜÇGENLERİN KENARLARININ UZUNLUKLARI İLE AÇILARININ ÖLÇÜLERİ

ARASINDAKİ İLİŞKİLER

(AÇI KENAR BAĞINTILARI)

Üçgen

# Bir üçgende küçük açı karşısında kısa kenar, büyük açı karşısında uzun kenar vardır.

s(A ˆ )>s(B ˆ )>s(C ˆ ) s A ^ > s B ^ > s C ^ ise a > b > c olur.

# Eğer açılar eşit ise bu açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.

# Dik açılı üçgenlerde, dik açıdan daha büyük açı olamayacağı için hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğu dik kenarların uzunluklarından daha büyüktür.

# Geniş açılı üçgenlerde geniş açıdan daha büyük açı olamayacağı için en uzun kenar geniş açının karşısındakidir.

ÖRNEK: Aşağıda iki iç açısının ölçüsü verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.

Üçgenlerde Açı Kenar Bağıntıları Örnek

Sorunun a şıkkındaki üçgende:

Verilmeyen A açısının ölçüsünü buluruz.

105° + 30° = 135°

180° − 135° = 45°

Şimdi açıların büyüklüğüne göre kenarları sıralarız: |AC| > |BC| > |AB|

Sorunun b şıkkındaki üçgende:

Verilmeyen B açısının ölçüsünü buluruz.

90° + 30° = 120°

180° − 120° = 60°

Şimdi açıların büyüklüğüne göre kenarları sıralarız: |AC| > |AB| > |BC|

Sorunun c şıkkındaki üçgende:

Verilmeyen C açısının ölçüsünü buluruz.

60° + 60° = 120°

180° − 120° = 60°

Eşit açıların karşısındaki kenarların uzunlukları eşit olduğu için: |AC| = |AB| = |BC|

ÖRNEK:

Açı Kenar Bağıntıları Örnek

Bir üçgenin açıları ve kenarları asıl elemanlarıdır.

Üçgenin Yardımcı Elemanları

1. Kenarortay

Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

Va: a kenarına ait kenarortay

Kenarortayların kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir.

2. Yükseklik

Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

Yüksekliklerin kesim noktasına diklik merkezi denir.

3. Açıortay

Üçgenin bir köşesini, bu köşedeki açıyı ortalayacak biçimde karşı kenara birleştiren doğru parçasına açıortay denir.

Açıortayların kesim noktası içteğet çemberin merkezidir.

4. Orta Dikme

Üçgenin kenarının orta noktalarından çizilen dikmenlere orta dikme denir.

Orta dikmelerin kesim noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

Üçgende Açı Özellikleri

1. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.

2. Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.

3. Üçgende iki iç açının ölçüleri toplamı, bu açılara komşu olmayan dış açının ölçüsüne eşittir.

Örnek:
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 4, 5 ve 6 sayılarıyla orantılı ise en büyük iç açının ölçüsü kaç derecedir ?
A) 48 B) 56 C) 60 D) 72 E) 84

Çözüm:

Yanıt D

Pisagor Bağıntısı

Bir üçgende pisagor bağıntısı olabilmesi için o üçgenin dik üçgen olması gerekir. Pisagor ( vakti olan hayat hikayesini okuyabilir 🙂 tarafından bulunan bu üçgeni inceleyelim