|
A. TANIM
Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.
|x| biçiminde gösterilir.
|
Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| küçük eşittir 0 dır.
|
B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ
-
* |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.
-
* |x × y| = |x| × |y|
* |xn| = |x|n
-
* y esit degildir 0 olmak üzere ,
* |x| – |y| <= |x + y| <= |x| + |y|
* |x| = a ise, x = a veya x = –a dır.
-
* |x| = |y| ise, x = y veya x = –y dir.
-
* x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
|x – a| + |x – b|
ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.
öRNEK x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve
K = |x – a| – |x – b| olmak üzere,
x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.
öRNEK a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| < a ise, –a < x < a dır.
b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.
öRNEK a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,
a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.
b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.
a < b ve c Î  olmak üzere,
öRNEK
|x + a| + |x + b| = c
eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.
1. Yöntem
Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.
x + a = 0 ise, x = –a dır.
x + b = 0 ise, x = –b dir.
Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)
–b < x, –b < x<–a ve x > –a dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.
1. Durum
–b < x ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b < x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
2. Durum
–b < x < –a ise, –x – a + x + b = c olur.
Bu denklemin kökü –b < x <–a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3. Durum
x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.
3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.
2. Yöntem
a < b ve c Î  olmak üzere,
|x + a| + |x + b| = c … (¶)
eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.
(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)
-
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,
(¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = [–b, –a] dır.
-
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,
(¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç = Æ dir.
-
Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,
(¶) daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, (¶) daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda (¶) daki denklemin çözüm kümesi,
Ç {–b – D, –a + D} olur.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
Soru 1 : I x-7 I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
I x-7 I < 3
= -3 < x-7 < 3
= -3+7 < x < 3+7
= 4 < x< 10
Ç:{5,6,7,8,9,}
Soru 2 : I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:
I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
= -1 < Ix-5I -1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
= 0 < x < 10
Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
Soru 3 : I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm: I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
= -2+7 < 2x < 2+7
= 5 < 2x < 9
= 5/2 < x -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
Soru 4 : I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4
Çözüm:I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
= -9+3 < 3x < 9+3
= -6 < 3x < 12
= -6/3 < x < 12/3
= -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
Soru 5 : 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
= 1+2 < x < 3+2
= 3 < x -2<x x > 2 veya x x-1=3 veya x – 1 = -3
x = 4 veya x = -2 dir.
Soru 6 : a<b<0 x – 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
x = 8 veya x = 2
x = 8 veya x =- 8 veya
x = 2 veya x =- 2 dir.
Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
Soru 7 : ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
x-1 = – 10 olamayacağından kök yoktur.
x-1 = 2 ise x – 1 = 2 veya x – 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
Ç.K = {-1,3}
Soru 8 : I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
*** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
Soru 9 :: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10
Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
Ç = {O}
x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14
Soru 10 : I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14
Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8
I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
Ç = {O}
x-1 = 3 veya x-1 = -3
x = 4 veya x = -2
x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)
Soru 11 : I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7
Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
Ç = {O}
x-2 = 10 veya x-2 = -10
x = 12 veya x = -8
x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)
Soru 12 : I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
Çözüm:
I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I
= I 7-[3-5] I
= I 7-(-2) I
= I 7+2 I
= I 9 I = 9
Soru 13 : I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2
Çözüm: I Ix-2I-5 I
Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
x = 8 x = -4 x = 6 x = -2
Soru 14 : Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)
Çözüm:
Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
= -6 < x < 2
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)
Soru 15 : I x+2 I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS)
Çözüm:
I x+2 I < 4 ise -4 < x + 2 < 4
-4-2 < x+2-2 < 4-2
-6 < x < 2
x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır.
Cevap: B’dir.
|
