A ¹Æ ve B ¹Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
“x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
***Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
***Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
*** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
*** Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
fonksiyonları tanımlansın.
1. (f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4. “x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
Buna göre, bire bir fonksiyonda,
“x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
“x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
*** s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f(A) = B ise, f örtendir.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir.
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
*** İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
*** “x Î A ve c Î B için,
ise, f sabit fonksiyondur.
*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
*** Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
*** Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
*** (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
*** f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.
*** f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.
*** f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.
*** y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
***  olmak üzere,
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.
*** Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.
*** Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
*** I birim fonksiyon olmak üzere,
*** f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
SORU : f:A→R , f(x)=2x+3 ve A={-1,0,1,2,3} olduğuna göre f(A) görüntü kümesi nedir?
Çözüm: f(x)=2x+3 olduğundan bize sorulan f(A)=2A+3 budur.
x=-1 için f(-1)=2.(-1)+3 = 1
x=0 için f(0)=2.(0)+3 =3
x=1 için f(1)= 2.(1)+3=5
x=2 için f(2)=2.(2)+3=7
x=3 için f(3)=2.(3)+3 =9
Buradan görüntü kümesi ; f(A)={1,3,5,7,9} bulunur.
SORU :f(x)=3x ise f(2x+3) fonksiyonunun f(x) türünden eşiti nedir ?
Çözüm: f(2x+3) fonksiyonunda x gördüğümüz yere 2x+3 yazalım. Yani ;
f(2x+3)=32x+3 olur. Burdan üslü ifadeyi düzenleyelim f(2x+3)=32x.33 =(3x)2.27
Sorunun başında f(x)=3x olduğu verilmiş buna göre f(2x+3)=(3x)2.27=(f(x))227
Düzenlersek f(2x+3)=27.f(x)2 veya f(2x+3)=27.f2(x)
SORU : fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a+b+c
toplamı kaçtır ?
Çözüm: Birim fonksiyon için f(x)=x olmalıdır.
buradan a+b-3=0 -(a-1)=1 ve c+4 =0 yazarız.
a=0 b=3 ve c=-4 elde edilir.
a+b+c=-0+3+(-4)=-1 elde edilir
SORU : fonksiyonu veriliyor buna göre
Çözüm: 
olduğu görülür. buradanda;
bulunur.
SORU :f:R→R fonksiyon olduğuna göre f(x+1)=(x+1).f(x) ve f(1)=2 ifaderleri verilsin.
Buna göre f(5) değeri kaçtır ?
Çözüm: Merdiven tipi fonksiyon soruları çözülürken soruda bize verilen f(1)=2 ifadesi kullanılıp değer veririz.
x=1 için f(2)=2.f(1) olur. f(1)=2 olduğundan yerine yazalım. f(2)=4 olur.
x=2 için f(3)=3.f(2) olur. f(2)=4 olduğundan yerine yazalım. f(3)=12 olur.
x=3 için f(4)=4.f(3) olur. f(3)=12 olduğundan yerine yazalım. f(4)=48 olur.
x=4 için f(5)=5.f(4) olur. f(4)=48 olduğundan yerine yazalım. f(5)=240 olur.
SORU : f(2x-7)=x3-3×2+4 olduğuna göre f(1) kaçtır ?
Çözüm: f(1) sorulduğuna göre parantez içi ifadenin 1 olması gerekir. 1 olması için gereken x değerini bulmalıyız. Eşitleyerek kolaylıkla bulabiliriz. Deneme yanılmayla zaman kaybetmeyin bazı pratik çözümlerde kullanabilirsiniz.
2x-7=1 ise 2x=8 ve 2x=23 tabanlar aynı üslerde aynı olmalıdır. x=3 bulduk. Bundan sonra fonksiyonda x gördüğümüz yere 3 yazıp sonucu bulalım.
f(23-7)=33-3.32+4
f(1)=27-27+4=4 olur.
SORU : g(x)=2x-4 ve (gof)(x)=6x+10 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir ? (Bileşke Fonksiyon)
Çözüm: Öncelikle bir iki özellik hatırlayalım (fog)(x)=f(g(x)) şeklinde yazılıp g(x) sonksiyonu f fonksiyonu içine alınabilir.
(gof)(x)=6x+10
g(f(x))=6x+10
g fonksiyonun kuralı 2x-4 yani 2 ile çarp 4 çıkart bunu f(x) için uygulayalım.
g(f(x))=2f(x)-4=6x+10
2f(x)-4=6x+10
2f(x)=6x+14 her yanı 2 ile bölelim.
f(x)=3x+7 olur
|
