KÜMELER
Küme Nedir: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes
tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük
harflerle isimlendirilir ve gösterilirler. Ör: A kümesi
Küme Belirtmez
* Çalışkan öğrenciler
* Uzun boylu insanlar
* Bazı hayvanlar
* Birkaç gün
Küme Belirtir
* Boyu 1.50 m’den uzun öğrenciler
* Uçan hayvanlar
* P harfi ile başlayan günler
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir.Eleman 
sembolü ile gösterilir.
Elemanı değilse 
sembolü ile gösterilir.
Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.
Pazartesi A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır.
Salı A , Salı A kümesinin elemanı değildir.
s(A)=3 , A kümesinin eleman sayısı 3’tür. => ( pazartesi, perşembe, pazar )
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.
NOT: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu
küme { A, T, Ü, R, K } olur.
1) LİSTE YÖNTEMİ
Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül
konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek:
A = { 1, 2, 3 } – A kümesinin eleman sayısı 3’tür.
B = { 123 } – B kümesinin eleman sayısı 1’dir.
Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123’tür.
2) ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel,
gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
Örnek:
A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.
K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.
P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.
3) VENN ŞEMASI YÖNTEMİ
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı
yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın
başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.
EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk
kümeler denir.
A = { 1, 2, 3 } , B = { 1, 2, 3 } ve C = { a, b, c }
A kümesi ile B kümesi eşittir. Sembolle A = B
A kümesi ile C kümesi denktir. Sembolle C 
D
NOT: Her eşit küme denktir fakat her denk küme eşit değildir.
BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da 
sembolleri ile gösterilir.
NOT: {} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
EVRENSEL KÜME
Belirli bir alandaki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme denir. Genellikle E harfi ile
gösterilir.
Evrensel Küme Örnekleri:
K = { a, b, c } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { a, b, c, d } olabilir.
D = { +, – , x } ise bu kümenin evrensel kümesi E = { +, -, x, / } olabilir.
A = { 1, 7, 9 } ve B = { 11, 13 } olsun.
Bu kümelerin evrensel kümesi Tek Sayılar veya Sayılar olabilir.
ALT KÜME
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A 
B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.
B 
A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C 
D biçiminde gösterilir.
Alt Kümenin Özelikleri
- Her küme kendisinin alt kümesidir. A A
- Boş küme her kümenin alt kümesidir. A
- (A B ve B A) ise A = B dir.
- A = B ise (A B ve B A) dir.
- (A B ve B C) ise A C dir.
- n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı
dir. - n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı – 1 dir.
KÜMELERDE İŞLEMLER
1) KÜMELERDE KESİŞİM
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A 
B biçiminde gösterilir.
Kesişimin Özellikleri
- A =
- A A = A
- A B = B A
- (A B) C = A (B C)
2) KÜMELERDE BİRLEŞİM
A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim
kümesi denir ve A 
B biçiminde gösterilir.
Birleşimin Özellikleri
- A = A
- A A = A
- A B = B A
- A (B C) = (A B) C
- A B ise, A B = B
- A B = ise, (A = ve B = ) dir.
3) İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B
kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
4) BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
A kümesinin dışındaki elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir. Başka
bir ifade ile evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A
kümesinin tümleyeni denir. A’ şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
A = { 1, 2, 3 } ve E ={ Rakamlar } olsun. A kümesinin tümleyeni
A’ = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olur.
NOT:A U A’ = E
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
SORU : A = { Mart , Mayıs} ise
A kümesini ortak özellik yöntemi ve venn şeması yöntemiyle gösterin.
ÇÖZÜM : A kümesindeki elemanlar M ile başlayan aylardır. Buna göre A kümesini liste yöntemiyle ;
A = { M harfiyle başlayan aylar } olarak gösterebiliriz.
A kümesini venn şemasıyla ;
| A | |
| . Mart | |
| . Mayıs |
Şeklinde gösterebiliriz.
SORU : A = { 3 , 5 , { a, b, c} , 7 , { e , f } , g }
B = { k, l, m, n, v, y, z}
C = { 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , { 20, 22 } , 24 }
ise s(A) , s(B) ve s(C) = ?
ÇÖZÜM : A kümesinin elemanlarını tek tek sayalım;
A = { 3 , 5 , { a, b, c} , 7 , { e , f } , g }
1 2 3 4 5 6
Buna göre s(A) = 6 dır.
B kümesinin elemanlarını sayalım ;
B = { k, l, m, n, v, y, z}
1 2 3 4 5 6 7
Buna göre s(B) = 7 dir.
C kümesinin elemanlarını sayalım ;
C = { 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , { 20, 22 } , 24 }
1 2 3 4 5 6 7
SORU : A = { Emin, Erkut { Esen, Erkan} , Elif ,Ecrin }
ise aşağıdakilerden hangileri doğrudur ?
{ Emin } ⊂ A
s(A) = 6
{ Elif, Ecrin } ⊂ A
{ Esen, Erkan } ⊂ A
{ Esen, Erkan } ∈ A
ÇÖZÜM : { Emin } ⊂ A DOĞRUDUR.
Çünkü Emin A kümesinin 1 elemanlı alt kümelerindendir.
NOT : Alt küme gösteriminde eleman { } içinde gösterilmelidir.
* s(A) = 6 YANLIŞTIR s(A) = 5 dir.
* { Emin, Erkut { Esen, Erkan} , Elif , Ecrin }
1 2 3 4 5
* { Elif, Ecrin } ⊂ A DOĞRUDUR
{ Elif, Ecrin } A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerindendir.
* { Esen, Erkan } ⊂ A YANLIŞTIR
Çünkü elemanın kendisi { Esen, Erkan } dir. Bu elemanın alt küme olarak gösterimi ;
* {{ Esen, Erkan }} ⊂ A olmalıydı.
* { Esen, Erkan } ∈ A DOĞRUDUR.
SORU : A = { 14 den küçük tek doğal sayılar }
B = { 20 den küçük 3 e tam bölünen sayma sayıları }
Buna göre s(AB) kaçtır ?
ÇÖZÜM : A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,11 , 13 }
B= { 3 , 6 , 9 ,12 ,15 ,18 }
(AB) = { 3 , 9 }
s(AB) = 2 dir..
SORU : GÖKHAN kelimesindeki harfler A kümesini, ERKAN kelimesindeki harfler ise B kümesini
oluşturuyor. Buna göre s(A B) kaçtır ?
ÇÖZÜM : A = { G, Ö , K , H, A , N }
B = { E , R , K , A , N }
(A B) = { G , Ö , K , H , A , N , E , R }
s(A B) = 8 dir.
SORU : s(A-B) = 7 s( B-A) = 14
s( A B) = 30 ise s(A n B) kaçtır ?
ÇÖZÜM : s( A B) = s(A-B) + s( B-A ) + s(AB) dir.
Buna göre ;
30 = 7 + 14 + s (AB)
30 = 21 + s(AB)
s(AB) = 9 dur.
SORU : 40 kişilik bir sınıfta öğrencilerin her biri basketbol ve satranç kurslarından en azından
birine katılmaktadır. 33 kişi basketbol, 17 kişi de satranç kursuna gittiğine göre , her iki kursa
da giden kişi sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM : s(BS) = 40 dir.
s(B) = 33
s(S) = 17
s(B S) = s(B) + s(S) – s(BS)
40 = 33 + 17 – s(BS)
40 = 50 – s(BS)
s(BS) = 10
SORU : A = { 5 , 10 , { 15 } , 20 , { 25 , 30 } , 35 } kümesi için aşağıdaki ifadelerden kaç
tanesi doğrudur ?
- · s(A) = 7
- · 5 ∈ A
- · 25 ∈ A
- · 10 ⊂ A
- · {15} ⊂ A
- · { 20 } ⊂ A
ÇÖZÜM : A = { 5 , 10 , { 15 } , 20 , { 25 , 30 } , 35 } kümesinin her bir elemanını farklı
renklendirdik..
- · s(A) = 7 yanlıştır, çünkü A kümesinin eleman sayısı 6 dır.
- · 5 ∈ A doğrudur.
- · 25 ∈ A yanlıştır, çünkü { 25 , 30 } başlı başına bir elemandır.
- · 10 ⊂ A yanlıştır, çünkü alt küme gösteriminde eleman { } içinde gösterilmelidir. Doğru
gösterim { 10 } ⊂ A dır. - · {15} ⊂ A yanlıştır, çünkü elemanın kendisi {15} dir, bu elemanı tekrar {} içine almak
gerekirdi. Yani doğru yazılım { {15} } ⊂ A dır. - · { 20 } ⊂ A ifadesi doğrudur.
Yani şıklarımızın sadece 2 tanesi doğrudur.
SORU : s(A/B) = 3 , s(B/A) = 4 ve s(AB) ≠ 0 ise s(AB) en az kaçtır ?
ÇÖZÜM : Soruda s(AB) ≠ 0 dediğine göre kesişim kümesinin en az 1 elemanı vardır.
Buna göre birleşim kümesinin en küçük değerini ;
s(AB) = s(A/B) + s(B/A) + s(AB) formülünden
s(AB) = 3 + 4 + 1 = 8 olarak buluruz.
SORU : 26 kişilik bir sınıfta öğrencilerin her biri İngilizce ve satranç kurslarından en az birine gitmektedir. İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı 19 , satranç kursuna giden öğrenci sayısı ise 12 ise kaç kişi her iki kursa da gitmektedir ?
ÇÖZÜM : İngilizce kursuna gidenler kümesine İ , satranç kursuna gidenler kümesine de S diyelim.
Toplam öğrenci sayısını bulmak için İngilizce kursuna gidenlerle Satranç kursuna gidenlerin sayısını toplar her ikisine de giden sayısından çıkarmamız gerekir.
s(İS) = s(İ) + s(S) – s(İS)
Biz, toplam öğrenci sayısını, İngilizce kursuna giden öğrenci sayısını ve Satranç kursuna giden öğrenci sayısını biliyoruz. Bunları yerine koyarsak her iki kursa giden öğrenci sayısını buluruz.
26 = 19 + 12 – (İS)
26 = 31 – (İS)
(İS) = 5
SORU : AB = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 ,11 }
AC = { 1 , 3 , 4 , 5 , 8 ,13 }
ve B ve C ayrık iki kümeyse
ise A kümesinin eleman sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM : AB = { 1 , 2 , 5 , 8 , 9 ,11 }
AC = { 1 , 3 , 4 , 5 , 8 ,13 }
A her iki birleşim kümesinde de olduğu için her iki kümede de ortak elemanları bulduğumuzda A nın elemanlarını bulmuş oluruz. 1 , 5 ve 8 in her iki birleşim kümesinde olduğunu görüyoruz. Buna göre A nın eleman sayısı 3 dür.
SORU :s(AB) = 25 , s(A/B) = 8 ve s (B/A) = 15 ise
s(AB) kaçtır ?
ÇÖZÜM : s(AB) = s(A/B) + s(B/A) + s(AB) formülünden
25 = 8 + 15 + s(AB)
25 = 23 + s(AB)
s(AB) = 2 dir.
SORU : s(AB) = 7 s (AnB) ve s(A/B) = 2 s(B/A) ve s(AB) = 3 ise
s( A/B ) = ?
ÇÖZÜM : Bize soruda s(AB) = 3 ve s (AB) = 7 s(AB) veriliyor.
3 ü s (AB) yerine koyarsak ;
s (AB) = 7 . 3 = 21 olur.
Bize soruda s(A/B) = 2 s(B/A) da veriliyor.
s(B/A) ye x dersek s(A/B) = 2x olur.
s(AB) = s(A/B) + s(B/A) + s(AB) formülünden
21 = 2x + x + 3
21 = 3x + 3
18 = 3x
x = 6
Bize s(A/B) yi soruyordu, s(A/B) 2x ile ifade edildiğinden ;
s( A/B ) = 12 olur.
SORU : A = { 13 den küçük 2 nin tam katı olan doğal sayılar }
B = { 13 den küçük 3 ün tam katı olan doğal sayılar }
ise s(A’) + s(B’) kaçtır ?
ÇÖZÜM : A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 }
B = { 3 , 6 , 9 , 12 }
A’ = { 3 , 9 } s(A’) = 2 [[ A kümesinde olmayan sayısı ]]
B’ = { 2 , 4 , 8 , 10 } s(B’) = 4 [[ B kümesinde olmayan sayısı ]]
s(A’) + s(B’) = 2 + 4 = 6 olur.
Soruları çözmeye çalışmadan cevaplara bakarsanız, kendinizi geliştiremeyeceğinizi unutmayın
Başarılar