LOGARİTMA

 

1. TANIM

a  R+ -{1} ve  x  R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.

Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde

logaritma işlemi yapılır.

a  R+-{1},      x  R+    ve      y  R olmak üzere,

a^y=x       y=log_a x    tir.

Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

   

      

 

Örnekler:

1) log₂ 8 = y       8= 2 ^y     y = 3 tür.    => 2 eşitliğin diğer tarafına geçerken oradaki sayıyıda üs olarak alır

2) log_a 64 = 3      64 = a³          64 = 4³        a = 4 tür.

4) log_a a = x     a = a^x      x = 1 dir.

5) log_a 1 = n        1 = aⁿ       n = 0 dır.

6) log₅ (-25) = m       -25 = 5^m        m  R dir.

 

 

 

Sonuç olarak:

1)  log_a a = 1

2) log_a 1 = 0

3)  y =log_a f(x)          f(x) > 0

 

 

Örnek:   log₅ (log₃ (log₂  x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

Çözüm:

log₅ (log₃ (log₂ x) ) = 0

log₃  (log₂  x ) = 50 = 1

log₂ x = 3¹

x = 2³ = 8 dir.

Örnek:      log₃ (a³.b.c) = 5

                  olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

 

 

Çözüm:

log₃ (a³.b.c) = 5        a³.b.c = 35

 

 

 

Örnek:

Buradan, a.b = 18 dir.

 

 

 

 ÖZEL LOGARİTMALAR

 

a) Bayağı Logaritma

y = log₁₀ x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

Örnek:

log₁₀  10 = log₁₀  = 1 dir.

 

 

 

b) Doğal Logaritma

e = 2,71828…. olmak üzere,

y = log_e  x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

 

Örnek:

log_e   e = ln e  = 1 dir.

 

LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

x,y  R+ ve a  R+ – {1} olmak üzere,

1) log_a   (x.y) =log_a x +log_ay

4) log_a x = log_a y        x = y      dir.

 

 

 

Örnek:

1)log₅+ log₂= log_(5.2) = log₁₀ =1

 

 

Örnek:

log_(2x-y)=log_x + log_y  olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

log_(2x-y)  =  log_x + log_y           =>        log_(2x-y)  =log_(x.y)

2x – y = x.y

2x = x.y +y

2x = y. (x+1)

 

 

Örnek:

log₅ = a,    log₃ = b,    log₂ = c    olduğuna göre, log_(22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini bulalım.

 

Çözüm:

= a + 2b – c  dir.

 

 

 

2. log₅  x = 6 – log₅  x

3. log₅ x = 6

log₅  x = 2

x = 5² = 25   tir.

 

 

Örnek:

log₅ = n         olduğuna göre, log₄ değerinin n türünden eşitini bulalım. bilgi yelpazesi.net

 

Çözüm:

a  R+,      a  1   ve    x  R+ olmak üzere,

Örnek:

log₂₅ = x      olduğuna göre, log₅ 10 ifadesinin x türünden eşitini bulalım.

Çözüm:

 

 

 

 

4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.

Y = log_a x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

grafikleri elde edilir.

 

 

 

Not:

y = log_a  (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.

1) Logaritmanın tanımından,   f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.

2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.

 

 

 

Örnek:

f(x) = log₂  (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

f(x) fonksiyonu, x-1>0 Þ  x>1 için tanımlıdır.

y = 0 için,           log₂  (x-1) = 0         x = 2 ve

y = 1 için,           log₂  (x-1) = 1          x = 3

olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,

5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ

a  R+-{1} ve x  R+ olmak üzere,

f(x) =log_a  x  f ^-1 (x) = ax      tir.

Örnek:

f(x) = log₅x          f ^-1 (x) = 5x tir.

Örnek:

f(x) = y = 2 log₅x                   x = 2. log₅ f ^-1 (x)

 

 

 

 

6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

1) a >1 olmak üzere,

log_a f(x)    log_a g(x)              f(x)  g(x)   (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)

2) 0<a<1 olmak üzere,

log_a f(x)   log_a g(x)               f(x)   g(x)      (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

 

 

Örnek:

log₃ (log₂(x-1)) > 0                   log₂ (x-1) > 30 = 1

x-1 >2 ¹

x > 3 tür.

 

 

 

Örnek:

log₂ (x-3)<4        =>             0 < x-3 <24

3<x<19 dur.

 

 

 

Örnek:

 

 

 

 

7. BAYAĞI LOGARİTMA

 

a) Karekteristik ve Mantis

x  R+ ,   k Z ve    0  m<1   olmak üzere, log_x   = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel

sayısına da  x in logaritmasının mantisi denir. bilgi yelpazesi.net

 

 

 

 

Örnek:

log₃₀  = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği  1 ve mantis i 0,477 dir.

 

 

 

Örnek:

log₂  = 0,301   olduğuna göre, log₈₀₀  değerinin karekteristik ve mantis ini bulalım.

Çözüm:

log₈₀₀  = log_23,102  = 2 + 3log₂

= 2 + 3. (0,301)

= 2 + 0,903

= 2,903 olduğundan,

karekteristik 2    ve     mantis 0,903 olur.

 

 

 

 

Not:

Uyarı:

1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

Örnek:

log₂= 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

Çözüm:

log₄₀ 40 = 40. log₄₀

= 40. (log_22,10)

= 40. (1 + 2 log₂)

= 40. (1+ 0,602)

= 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

 

 

 

b) Kologaritma:

x  R+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

     tir.

 

 

 

 

Örnek:

log_x = 1,73     olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

LOGARİTMANIN TÜM ÖZELLİKLERİ

         

      

    

    

        

        

 

 

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Çözüm :

Soru :

Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir.

5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik (Resmi Gazete Kabul Tarihi : 3.3.2004) ile

kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre
hakkı ihlal edilen öncelikle üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır.

Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.