İNTEGRAL

BELİRSİZ İNTEGRAL

A. DİFERANSİYEL KAVRAMI

x in sonsuz küçük değişimi dx şeklinde gösterilir. Buna x değişkeninin diferansiyeli denir.
Fonksiyondaki değişim dy ile gösterilir.

dy = f ‘(x)dx ifadesine y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir.

B. BELİRSİZ İNTEGRAL

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonuna f(x) in belirsiz integrali denir ve

şeklinde gösterilir.

 sembolüne integral işareti, f(x) fonksiyonundan F(x) + c fonksiyonunun bulunmasını sağlayan işleme integral alma işlemi,

F(x) + c fonksiyonuna da f(x) in ilkel fonksiyonu denir.

C. İNTEGRAL ALMA KURALLARI

Uyarı

KURAL

KURAL

KURAL

KURAL

KURAL

KURAL

KURAL

D. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ

1. Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegrali alınan fonksiyon f(u)du gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.

KURAL

KURAL

KURAL

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,
x = a × sint değişken değiştirmesi yapılır.

KURAL

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için, değişken    değiştirmesi yapılır.

KURAL

den başka köklü ifade içermeyen fonksiyonların integralini hesaplamak için,
x = a ×     tant değişken değiştirmesi yapılır.

KURAL

 köklü ifadelerini içeren fonksiyonların integrallerini hesaplamak için   E.k.o.k.(m, n) = p    olmak üzere,     değişken değiştirmesi yapılır.

2. Kısmî İntegrasyon Yöntemi
u = f(x)
v = g(x)

olsun. u × v nin diferansiyeli,
d(u × v) = du × v + dv × u
olur. Buradan,
u × dv = d(u × v) – v × du
olur. Her iki tarafın integrali alınırsa,

UYARI

Kısmî integralde u nun ve dv nin doğru seçilmesi çok önemlidir. Seçim doğru yapılmazsa, çözüme yaklaşmak yerine, çözümden uzaklaşılır. Türev ve integral alma bilgileri ışığında, seçim sezgisel olarak yapılabilir. Ancak, kolaylık sağlayacağı için aşağıdaki kuralı göz önüne alabilirsiniz.

KURAL

KURAL

SONUÇ

n bir doğal sayı olmak üzere,
 f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,

3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi

P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olsun.
    integrali, vereceğimiz iki yöntemden biriyle sonuçlandırılır.

a. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise;
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük ya da eşit ise P(x), Q(x) e bölünür.

b. P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçük ise;
P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçükse ifade basit kesirlere ayrılır.

4. Trigonometrik Özdeşliklerden Yararlanarak İntegral Alma Yöntemi

KURAL

KURAL

                           BELİRSİZ İNTEGRAL – ÇÖZÜMLÜ SORULAR

                                                      CEVAPLAR

                                              BELİRLİ İNTEGRAL

A. BELİRLİ İNTEGRAL

olmak üzere, ifadesine f(x) fonksiyonunun a dan b ye belirli integrali denir.

Belirli integralin eşiti gösterimlerinden biriyle yapılır.

Uyarı

Daima sadeleşeceği için, integral sabiti olan c belirli integralde yazılmaz.

B. BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

Özellik

KURAL

Mutlak değer, işaret ve tam değer fonksiyonlarının integralleri,
fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar göz önüne alınarak sonuçlandırılır.

KURAL

İki ya da daha fazla fonksiyonun  toplamının ya da farkının belirli integrali,
bu fonksiyonların ayrı ayrı belirli integrallerinin toplamına ya da farkına eşittir.

KURAL

C. İNTEGRAL – TÜREV İLİŞKİSİ

KURAL

KURAL

KURAL

                                 İNTEGRAL – ÇÖZÜMLÜ SORULAR

                                                  ÇÖZÜMLERİ

                                                 4 ADET – YENİ SORU

                                                  ÇÖZÜMLERİ

                                             ÇÖZÜMLÜ SORULAR

A. İNTEGRAL İLE ALAN ARASINDAKİ İLİŞKİ

Aşağıdaki şekilde y = f(x) eğrisi y = g(x) eğrisi x = a ve x = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, yukarıdaki eğrinin denkleminden aşağıdaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

Bu sayfadan sonraki sayfada verilen şekilde x = f(y) eğrisi x = g(y) eğrisi y = a ve y = b doğrusu arasında kalan taralı bölge verilmiştir.

Bölge (ya da eğriler) hangi konumda olursa olsun, sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla oluşan belirli integral, bölgenin alanını ifade etmektedir.

KURAL

1. Hangi konumda olursa olsun, alan daima pozitif bir reel sayı ile ifade edilir.

2. Belirli integralin değeri bir reel sayıdır.

3. İntegral ile alan ilişkilendirilirken,
a. Alan x ekseninin üst kısmındaysa, alanı ifade eden sayı integrali de ifade eder.
b. Alan x ekseninin alt kısmındaysa, alanı ifade eden sayının toplama işlemine göre
tersi  integrali ifade eder

KURAL  –   Parabolün Alanı

y = f(x) parabolünün tepe noktasının apsisi r   ordinatı k;
x = f(y) parabolünün tepe noktasının apsisi n  ordinatı m dir.

Yukarıda solda verilen parabolde taralı alan,      Yukarıda sağda verilen parabolde taralı alan
                                    

      Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Taralı alan

KURAL

  Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

B. İNTEGRAL İLE HACİM ARASINDAKİ İLİŞKİ

KURAL

          y = f(x) eğrisi, x = a, x = b doğruları ve x ekseni ile
sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

KURAL

           x = g(y) eğrisi, y = c, y = d ve y ekseni tarafından
sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

KURAL

          y = g(x) eğrisi, x = a, x = b ve y = f(x) tarafından
sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) x ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

KURAL

        x = f(y) eğrisi, y = c, y = d ve x = g(y) tarafından
sınırlanan bölgenin (Taralı bölge) y ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi:

                                   HACİM HESABI – ÇÖZÜMLÜ SORULAR

                                                  ÇÖZÜMLERİ