A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
 olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
 biçiminde gösterilir.
f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun Tanım kümesi, B ye de Değer kümesi denir.
Fonksiyon olabilmesi için
* Tanım kümesinde boşta eleman kalmamalı
* Tanım kümesindeki her eleman yanlız bir kere kulanılmalı
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı  dir.
NOT : Bir grafiğin fonksiyon olduğunu anlayabilmek için
y eksenine parelel doğrular çizilir eğer 2 noktada kesiyor ise fonksiyon değildir
(aynı x değeri iki farklı sonuç almış olur)
Örnek
Çözüm : f ve k ( g ve h da tanım kümesinde boşta eleman kamış )
Örnek
Örnek
Çözüm : I, III , IV ( II de tanım kümesinde boşta eleman kalmış )
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
*** f : A  B
f(A) = B ise, f örtendir.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m. (m – 1) . (m – 2) . … .3 . 2 . 1 dir.
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
*** İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı  dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
ise, f sabit fonksiyondur.
*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
f : R R
* f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
* f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Her x  A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
f : A A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
f : A B, f = {(x, y)|x A, y B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
 : B A, = {(y, x)|(x, y) f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.
(x, y) Î f ise, (y, x) olduğu için,
y = f(x) ise, x = (y) dir.
Ayrıca,
 .
Ancak,
*** f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, fonksiyon değildir.
*** f : A B ise, : B A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.
*** f(a) = b ise, (b) = a dır.
(b) = a ise, f(a) = b dir.
*** y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = (x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
 olmak üzere,
f : A B, g : B C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
f : A B ve g : B C olmak üzere, gof : A C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.
***Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.
***Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
*** I birim fonksiyon olmak üzere,
 dır.
*** f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
ise, f(x) = (ho  )(x) dir.
ise, g(x) = ( oh)(x) tir.
• (x) = f(x) tir.
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A B, f = {(x, y)|x  A, y B, y = f(x)}
(a, b) f
Ayrıca, (b) = a dır.
Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3) = 3
f(–2) = 1
f(–1) = 2
f(0) = 2
f(1) = 1
f(2) = 0
f(3) = 2
f(4) = 1
f(5) = 0 dır.
SORU : f(x+1) = 3+f(x) ve f(1) = 4 ise f(3) kaçtır?
Çözüm: f(x+1) = 3+f(x) eşitliğinde
x=1 yazalım.
f(2) = 3+f(1)
f(2) = 3+4=7
x=2 yazalım.
f(3) = 3+f(2)
f(3) = 3+7=10
f(3) = 10
Örnek
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
|
