POLİNOMLAR | Alkan Hoca | Matematik | YKS TYT AYS KPSS ALES DGS YGS LYS TEOG

olmak üzere,

P(x) = a₀ , a₁.x¹ , a₂.x² , … , a_n.xⁿ

biçimindeki ifadelere x değişkenine göre, düzenlenmiş reel kat sayılı polinom (çok terimli) denir.

Burada, a₀ , a₁ , a₂, … a_n reel sayılarına polinomun kat sayıları,

a₀ , a₁.x¹ , a₂.x² , … , a_n.xⁿ ifadelerine polinomun terimleri denir.

a_n.xⁿ terimindeki an sayısına terimin kat sayısı,

x in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi denir.

Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] ile gösterilir.
Derecesi en büyük olan terimin kat sayısına ise polinomun baş kat sayısı denir.

Polinomlar kat sayılarına göre adlandırılırlar. Kat sayıları reel sayı olan polinomlara reel kat sayılı polinom,
kat sayıları rasyonel sayı olan polinomlara rasyonel kat sayılı polinom, kat sayıları tam sayı olan polinomlara tam kat sayılı polinom denir.

Tanım

Olmak üzere, P(x) = c biçimindeki polinomlara,sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır) dır.

Tanım

P(x) = 0 biçimindeki polinoma, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Polinomların Eşitliği

Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar eşittir.

B. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin kat sayıları kendi aralarında toplanır,
sonuç o terimin kat sayısı olarak yazılır.

2. Çıkarma İşlemi

P(x) – Q(x) = P(x) + [–Q(x)]

olduğu için, P(x) polinomundan Q(x) polinomunu çıkarmak, P(x) ile –Q(x) i toplamaktır.
Bunun için çıkarma işlemini, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.

3. Çarpma İşlemi

İki polinomun çarpımı; polinomlardan birinin her teriminin diğer polinomun her bir terimi ile
ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimler toplamınarak yapılır.

4. Bölme İşleminin Yapılışı

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır.
Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2) Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç,
bölümün ilk terimi olarak yazılır.

3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta
gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.

4) Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.

5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük
oluncaya kadar devam edilir.

Tanım

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n olsun.

P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) olsun.

Buna göre,

der[P(x) + Q(x)] = m,

der[P(x) – Q(x)] = m,

der[P(x) × Q(x)] = m + n,

der[B(x)] = m – n,

der[[P(x)]k] = k . der[P(x)] = k . m,

der[[P(xk)]] = k . der[P(x)] = k . m dir.

C. P(x) İN x = k İÇİN DEĞERİ

P(x) = a₀ + a₁.x¹ + a₂.x² + … + a_n.xⁿ

polinomunun x = k için değeri,

P(k) = a₀+ a₁.k + a₂ k² + … + a_n.kⁿ dir.

Kural

P(x) = a₀ + a₁. x + a₂.x²+ … + a_n.xⁿ

polinomunda x = 1 yazılırsa,

P(1) = a₀+ a₁ + a₂ + … + a_n olur.

Bu durumda

P(1) in değeri P(x) polinomunun kat sayıları toplamıdır.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 1 yazılırsa, o polinomun kat sayıları toplamı bulunur.

Örneğin, P(x + 7) polinomunun kat sayıları toplamı,

P(1 + 7) = P(8) dir.

Kural

P(x) = a₀ + a₁. x + a₂.x²+ … + a_n.xⁿ

polinomunda x = 0 yazılırsa,

P(0) = a₀ olur.

Bu durumda

P(0) ın değeri P(x) polinomunun sabit terimidir.

Sonuç

Herhangi bir polinomda x yerine 0 yazılırsa, o polinomun sabit (x ten bağımsız) terimi bulunur.

Örneğin, P(2x + 3) polinomunun sabit terimi,

P(0 + 3) = P(3) tür.

D. P(x) İN (ax + b) İLE BÖLÜNMESİYLE ELDE EDİLEN KALAN

P(x) in ax + b ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B(x), kalan K olsun. Buna göre,

Yani; P(x) polinomunun ax + b ile bölünmesiyle elde edilen kalanı bulmak için, ax + b = 0
denkleminin kökü olan

için P(x) polinomunun değeri olan

hesaplanır.

Sonuç

P(x) polinomunun x – a ile bölümünden kalan P(a) dır.

P(x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
P(a + b) dir.

P(3x + b) polinomunun x – a ile bölümünden kalan
P(3.a + b) dir.

E. P(x) İN xn + a İLE BÖLÜMÜNDEN KALAN

Kural

Derecesi n den büyük olan bir polinomun

xn + a ile bölümünden kalanı bulmak için, xn yerine –a yazılır.

(xn + a = 0 ise, xn = –a)

F. P(x) İN (x – a) . (x – b) ÇARPIMI İLE BÖLÜNMESİ

Kural

1) P(x) polinomu (x – a) . (x – b) çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa x – a ve x – b çarpanları ile de ayrı ayrı tam olarak bölünür.

2) x – a ve x – b aralarında asal polinomlar olmak üzere;
P(x), bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa, (x – a) . (x – b) çarpımı ile de tam olarak bölünür.

G. P(x) İN (a × x + b)² İLE BÖLÜNEBİLMESİ

P(x) polinomu (ax + b)2ile tam bölünebiliyorsa,

P(x) polinomu ve P'(x) polinomu ax + b ye tam olarak bölünür.
(P'(x), P(x) in türevidir.)

Buna göre, P(x) polinomu (ax + b)²ile tam bölünebiliyorsa,

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

POLİNOM SORULARI ÇÖZÜMLERİ

SORU 1:

p(x)=x^m-3+x^m-2+x+1

ifadesi II.derece bir polinom olduğuna göre, m kaçtır ?

(Polinom olma şartı)

ÇÖZÜM 1:

P(x)’in 2. derece polinom olabilmesi için,

m – 2 = 2 => m=4 olmalı.

———————————————

SORU 2:

p(x)=x^6/n+x^n-2+2

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır. ?

(Polinom olma şartı)

ÇÖZÜM 2:

p(x) in polinom olabilmesi için

6/n N ve (n-2)∈N olmalı

6/n ∈N => n={1,2,3,6} olur.

n – 2 ≥ 0 => n ≥ 2 olacağından n=1 olamaz.

n={2,3,6} dır.

——————————————————-

SORU 3:

der[p(x)]=3
der[(Q(x)]=2

olduğuna göre, der[p(x²).Q(x)] kaçtır ?

(polinomda derece bulma)

ÇÖZÜM 3:

der[p(x)]=3 ise P(x)=x³ olsun.

der[Q(x)]=2 ise Q(x)=x² olsun.

Buna göre,

p(x²)=(x²)³=x⁶ dır…..(*)

p(x²).Q(x)=x⁶ . x² =x⁸ dir…..(**)

Bu durumda, der[p(x²).Q(x)]=8′dir.

Yaptıklarımızı genelleyelim:

der [p(x²).Q(x)] = der [p(x²)]+der[Q(x)]

=2der[p(x)]+der[Q(x)]

=2.3+2

=8 bulunur.

————————————

SORU 4:

p(x+1)=3x+1

olduğuna göre, p(x+2) polinomunun kat sayıları toplamı kaçtır ?

(polinom ve katsayılar toplamı)

ÇÖZÜM 4:

p(x+2) polinomunun katsayıları toplamı

x=1 için

p(1+2)=p(3)’tür.

p(3)’ü elde edebilmek için, verilen p(x+1) polinomunda x yerine 2 yazılır.

p(x+1)=3x+1

p(2+1)=3.2+1

p(3)=7 bulunur.

—————————————————————–

SORU 5:

p(x+2)=4x²+3x+1

olduğuna göre, p(x+3) polinomunun sabit terimi kaçtır ?

(polinom ve sabit terim)

ÇÖZÜM 5:

p(x+3) polinomunun sabit terimi

p(0+3)=p(3)’tür.

p(3)’ü bulmak için, verilen p(x+2) de x yerine 1 yazılır.

p(x+2)=4x²+3x+1

p(3)=4+3+1

p(3)=8

———————————————–

SORU 6:

p(x)=x⁶+x³+x²+x+1

polinomunun x³-1 ile bölümünden kalan nedir ?

(polinomda bölme soruları)

ÇÖZÜM 6:

x³-1=0=> x³=1 yazılır.

p(x)=(x³)²+x²+x+1

=1+1+x²+x+1

=x²+x+3 bulunur.

——————————————————-

SORU 7:

p(x)=2x³+ax²-x+2

polinomu x+2 ile tam bölünebildiğine göre, a değeri kaçtır ?

ÇÖZÜM 7:

p(-2)=0 olmalıdır.

x=-2 için

p(-2)=2.(-2)³+a.(-2)²-(-2)+2

0=-16+4a+4

a=2 bulunur.
——————————————————————————————————-

SORU 8:

p(2x-1)+2x²=Q(x)+x

veriliyor.

p(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 6 olduğuna göre q(x-3) polinomunun x-5 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 8:

p(2x-3)+2x²=Q(x)+x

p(1)=6=>Q(2)=?

x=2 için

p(1)+2.2²=Q(2)+2

6+8=Q(2)+2

Q(2)=12 bulunur.
———————————————————————-

SORU 9:

p(x)=x¹⁰+x⁵+1

polinomunun x –⁵√3 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 9:

p(x)=x¹⁰+x⁵+1

x –⁵√3 = 0

x=⁵√3 olur.

=(⁵√3)¹⁰+(⁵√3)⁵+1

=9+3+1

=13 bulunur.
—————————————————————————-

SORU 10:

p(x)=x²⁰⁰⁷+x²⁰⁰⁸+x²⁰⁰⁹

polinomunun x+1 ile bölümünden kalan kaçtır ?

ÇÖZÜM 10:

x=-1 yazılır.

p(-1)=(-1)²⁰⁰⁷+(-1)²⁰⁰⁸+(-1)²⁰⁰⁹

=-1+1-1

=-1 bulunur.

SORU 11:

P(x) polinomunun,beşinci dereceden bir Q(x) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm x²+5x-7,kalan ise 9x-5 olduğuna göre,P(x) kaçıncı dereceden bir polinomdur?

ÇÖZÜM 11:

( x²+5x-7).Q(x)+9x-5=P(x)

(B(x) 5. dereceden bir polinom ise üstler toplamndan 7 olur ) ozaman der[A(x)]=7 dir

Polinom Çözümlü Örnekler

SORU 12:

P(x)=2 x³+3.x^8-n-4xⁿ⁺²+5x Polinomunun derecesi en çok kaçtır?

ÇÖZÜM 12:

İfadenin bir polinom olması için üslerin ≥0 olması gerekmektedir.

Bunun için 8-n≥0 , 8≥n olmalı.
n+2≥0 , n≥-2 olmalıdır.

n=8 olursa 4xⁿ⁺² ifadesinden polinomun derecesi en çok 10 olacaktır.

——————————————————–

SORU 13:

P(x)=2x⁴ + 3x² – 3
Q(x)=-2x⁴ + 2x -1 olduğuna göre P(x)+Q(x) polinomunun derecesi kaçtır ?

ÇÖZÜM 13:

Normal toplama işlemi yaparmış gibi alt alta toplayalım.Yalnız burda dikkat etmemiz gereken husus toplanacak olan terimlerin aynı dereceden olması gerektiğidir.

P(x)=2x⁴ + 3x² – 3
Q(x)=-2x⁴ + 2x -1
+_____________
2x⁴+(-2x⁴) + 3x² + 2x – 4
0+3x² + 2x – 4 = 3x² + 2x – 4 bulunur.Derece ise 2 bulunur.

———————————————————

SORU 14:

P(x)+P(x-2)=6x-14
olduğuna göre P(x) polinomu nedir ?

ÇÖZÜM 14:

Burda şöyle düşünmemiz gerekiyor.Sonuca bakalım 1.Dereceden değil mi ? Toplama işleminde sonucun 1.dereceden olması demek toplananların da 1.dereceden olması gerektiği anlamına gelir.

Örneğin x²+x²=2x² yani 2.derecedendir.

Bu durumda P(x)=mx+n olsun.
P(x-2)=m(x-2)+n olur.
+________________-
mx+n+mx-2m+n=6x-14 verilmiş.
2mx+2n-2m=6x-14
m=3
2n-6=-14
2n=-8
n=-4 bulunur.

P(x) = mx+n idi
P(x)=3x-4 bulunur.

——————————————————–
SORU 15:

1.Dereceden bir P(x) polinomunun x+1 ile bölümünden kalan 5 , x-2 ile bölümünden kalan (-1)’dir.

Buna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır ?

ÇÖZÜM 15:

P(x) 1.dereceden denmiş yani P(x)=mx+n’dir.

P(x)’in x+1 ile bölümünden kalan 5miş.Yani P(-1)=5
x-2 ile bölümünden kalan -1 miş yani P(2)=-1

P(-1)=-m+n=5
P(2)=2m+n=-1

n-m=5 / -1 ile çarpalım.
2m+n=-1

-n+m=-5
2m+n=-1
+_____
3m=-6
m=-2
n=3 bulunur.
P(x)=-2x+3
P(0) isteniyor.
P(0)=-2.(0)+3
P(0)=3 bulunur.

——————————————————-

SORU 16:

P(x) polinomunun x+2 ile bölümünden kalan (-6) , x-2 ile bölümünden kalan 10’dur.

Buna göre P(x) polinomunun x²-4 ile bölümünden kalan nedir ?