PARABOL

A. TANIM

 olmak üzere,  tanımlanan
 biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.

İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

Kural

fonksiyonunun grafiğinin (parabolün);  y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir.  x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Kural

denkleminde, olmak üzere,  D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser.  D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.  D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.

Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan
 nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

Kural

fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,

Sonuç

fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur.

Uyarı

ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir.Bu fonksiyon düzenlenerek  hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.

Kural

fonksiyonunun grafiğinde (parabolde), a > 0 ise kollar yukarıya doğru,  a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur. Buna göre, fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir: Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ

 fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:

1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.

2) Parabolün tepe noktası bulunur.

3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

Kural

A)  olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun. a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir.  a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir. B) Parabolün tanım aralığı  yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır:  f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur.  f(a) ile f(b) hesaplanır.  a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.  b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a), f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.

(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;

b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

Kural

x eksenini  noktalarında kesen parabolün denklemi, dir.

Kural

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi, dir.

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ

Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:

F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ

y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.

f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir.
Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.

Özel olarak,

 parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,

D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.

D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.

D = 0 ise doğru parabole teğettir.

                                   ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ÖRNEK

 parabolü x eksenine teğetse  a kaçtır?

ÇÖZÜM

Bir parabol x eksenine teğetse, denklemi bir tamkaredir, yani diskriminantı 0’dır.

 – 4x2x2 = 0 diye    = 16.     Dolayısıyla  a = ± 4  olarak bulunur.

ÖRNEK

 parabolünün grafiği yukarıda verilmiştir.

|AB| = 3 olduğuna göre m kaçtır?

ÇÖZÜM

|AB| = 3 bilgisinden kökün birinin diğerinden 3 fazla olduğunu yani kökler farkının 3 olduğunu anlıyoruz.

Kökler toplamı formülünden de kökler toplamı 4 bulunduğundan

Simdi de kökler çarpımı formülünden yardım isteyeceğiz.

ÖRNEK

Parabollerinin x eksenini kestiği noktalar aynı ise m.n çarpımı kaçtır?

ÇÖZÜM

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalarının aslında kökleri olduğunu defalarca söyledik.

O halde soruda bu (bilgi yelpazesi.net) iki parabolün de köklerinin aynı olduğu anlatılmak isteniyor. Kökler toplamında giderek m’yi, kökler çarpımından giderek de n’yi bulacağız.

Parabolün Kollarının Yönü

ÖRNEK

 parabolü x eksenine teğet olup, parabolün kollar aşağı doğrudur. Buna göre a kaçtır?

ÇÖZÜM

.

Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan baskatsayı olan a negatif olmalıdır, o halde a = –1.

ÖRNEK

Yukarıda grafiği verilen f parabolü x eksenini −2 ve 8 apsisli noktalarda, y eksenini de −3 ordinatlı noktada kestiğine göre f(6) kaçtır?

ÇÖZÜM

Dedik ya parabol simetrik bir şekildir. İste ondan dolayı, yukarıdaki kökten sağa 2 birim gittiğimizde y değeri 3 azalıyorsa, sağdaki kökten sola doğru 2 birim ilerlediğimizde de y değeri 3 azalır.

Diğer bir deyişle, şekildeki taralı bölgeler estir, o halde f(6) = −3.

Parabol Denkleminin Yazılması

ÖRNEK

A(–1, 3), B(1, 3) ve C(0, 4) noktalarından geçen parabolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

Parabolün denklemi  olsun Mademki parabol bu noktalardan geçiyor, o halde bu koordinatlar parabol denklemini sağlıyordur.

olur.

Son eşitlikten bulduğumuz c = 4 eşitliğini ilk iki denklemde yerlerine yazıp, iki bilinmeyenli iki denklemi çözeceğiz:

a – b + 4 = 3

a + b + 4 = 3

çıkar ki, buradan da a = –1 ve b = 0 buluruz.

Üç bilinmeyen de artık bilindiğinden geriye sadece denklemde yerlerine yazmak kaldı:

Kökleri Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması

ÖRNEK

Kökleri –3 ve 1 olan ikinci dereceden bir denklemin grafiği A(2, 5) noktasından geçmektedir. Bu denklemi yazınız.

ÇÖZÜM

Derhal kökleri −3 ve 1 olan tüm ikinci dereceden denklemleri yazalım:

y = a.(x + 3).(x – 1)

Bu denklemi (2, 5) de sağlaması gerekiyor.

O halde 5 = a.(2 + 3)(2 – 1) olduğundan a = 1’dir.

Parabol denklemi bulundu bile:

ÖRNEK

x eksenini –1 apsisli,

y eksenini –2 ordinatlı

noktada kesen yukarıdaki parabolün, tepe noktasının apsisi 2 ise bu parabolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

Tepe noktası simetri ekseni üzerinde bulunduğundan |AC| =|CB|’dir. O halde verilmemiş kök olan B noktasının apsisi 5’dir.

Su durumda parabolün iki kökü ve geçtiği bir noktası bellidir.

y = a.(x + 1).(x – 5)

G(0, –2) noktası da parabol üstünde olduğundan sağlaması gerekir.

–2 = a.(0 + 1).(0 – 5)

olduğundan

Bize lazım olan her şey bulunduğundan parabol denklemini yazabiliriz:

Tepe Noktası Ve Geçtiği Herhangi Bir Noktası Verilen Parabolün Denkleminin Yazılması

ÖRNEK

Tepe noktası T(1, 2) olup, G(3, –5)’ten geçen parabolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

Denklemi Verilen Parabolün Tepe Noktasının Koordinatlarının Bulunması

ÖRNEK

 parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz.

ÇÖZÜM 1: Önce bir koordinatlarını bulalım, orijine olan uzaklı kolay.

ÇÖZÜM 2: Tavsiyemiz bu yoldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhal tam kare haline getirin, gerisi sırıtacak zaten.

Ne kadar da  formülüne benziyor değil mi?

Aslında ta kendisi, o halde r = –2 ve k = 4.

ÖRNEK

 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.

ÇÖZÜM 1

ÇÖZÜM 2

Parabol İle Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları

denkleminin diskriminantı

ÖRNEK

 parabolü ile y = x + 6 doğrularının birbirlerine göre durumlarını inceleyiniz. Teğetseler degme noktasının, kesişiyorsalar kesim noktalarının koordinatlarını bulunuz.

ÇÖZÜM

Görüldüğü gibi eşitlenen denklemlerin ortaya çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru parabole tek noktada değiyor, yani teğet. x = –1 olduğundan y = –1 + 6 = 5 olduğundan teğet degme noktası koordinatları (–1, 5)’tir.

ÖRNEK

 parabolünün y = 2x – 21 doğrusuna göre konumunu belirleyiniz.

ÇÖZÜM

Her zamanki gibi denklemleri ortak çözeceğiz.

Bu denklemin reel kökü olmadığından doğruyla parabol kesişmezler