Fonksiyonlar | Alkan Hoca | Matematik | YKS TYT AYS KPSS ALES DGS YGS LYS TEOG

A. TANIM

olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu

biçiminde gösterilir.
A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı

dir.

* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

* f : A

f(A) = B ise, f örtendir.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

m! = m . (m – 1) . (m – 2) . … . 3 . 2 . 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

ise, f sabit fonksiyondur.

* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

* Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

Her x

A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON

f : A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

biçiminde gösterilir.

F. TERS FONKSİYON

f : A

B, f = { (x, y) | x

A , y

B } bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

: B

= {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y)

f ise, (y, x)

olduğu için,

y = f(x) ise, x =

(y) dir.

Ayrıca,( f^-1 )^-1 = f dir.

* ( f^-1 )^-1 = f dir. Ancak, (f^-1(x))^-1 f(x) tir.

* f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f^-1 fonksiyon değildir.

* f : A

B ise,

: B

A olduğu için, f nin tanım kümesi, f^-1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f^-1 in tanım kümesidir.

* f(a) = b ise,

(b) = a dır.

f^-1(b) = a ise, f(a) = b dir.

* y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f^-1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

* B

olmak üzere

G. BİLEŞKE FONKSİYON

f : A

B, g : B

C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,

f : A

B ve g : B

C olmak üzere, gof : A

C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

* (gof)(x) = g[f(x)] tir.

*** Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

Bu durumda, fog gof dir.

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

* Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

* I birim fonksiyon olmak üzere,

foI = Iof = f ve

f^-1of = fof^-1 = I (birim fonsiyon) dur.
yani f(x) = x

* f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,

(fog)^-1 = g^-1o f^-1 ve

(fogoh)^-1 = h^-1og^-1of^-1 dir.

* (fog)(x) = h(x)

ise, f(x) = (hog^-1)(x) dir.

ise, g(x) = (f^-1oh)(x) tir.

• f^-1 (x) = f(x) ise

• (fof) (x) = x

• (fofof) (x) = f(x)

• (fofofof) (x) = x

H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A

B, f = {(x, y)|x

A, y

B, y = f(x)}

(a, b)

f olduğundan f(a) = b dir. Ayrıca, f^-1(b) = a dır.

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,

f(–3) = 3
f(–2) = 1
f(–1) = 2
f(0) = 2
f(1) = 1

f(2) = 0
f(3) = 2
f(4) = 1
f(5) = 0 dır.

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

SORU : f:A→R , f(x)=2x+3 ve A={-1,0,1,2,3} olduğuna göre f(A) görüntü kümesi nedir?

Çözüm: f(x)=2x+3 olduğundan bize sorulan f(A)=2A+3 budur.

x=-1 için f(-1) =2.(-1)+3 = 1

x=0 için f(0) = 2.(0)+3 = 3

x=1 için f(1) = 2.(1)+3 = 5

x=2 için f(2) = 2.(2)+3 = 7

x=3 için f(3) = 2.(3)+3 = 9

Buradan görüntü kümesi ; f(A)={1,3,5,7,9} bulunur.

SORU : f(x)=3^x ise f(2x+3) fonksiyonunun f(x) türünden eşiti nedir ?

Çözüm: f(2x+3) fonksiyonunda x gördüğümüz yere 2x+3 yazalım.

Yani ; f(x) = 3^x

f(2x+3) = 3^(2x+3) olur.

Burdan üslü ifadeyi düzenleyelim f(2x+3)=3^2x.3³ =(3^x)².27

Sorunun başında f(x)=3x olduğu verilmiş buna göre

f(2x+3)=(3^x)².27 = f(x)².27

Düzenlersek f(2x+3) = 27.f(x)² veya f(2x+3) = 27.f²(x)

SORU : (a+b-3)x² – (a-1)x + c+4 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a+b+c
toplamı kaçtır ?

Çözüm: Birim fonksiyon için f(x)=x olmalıdır.

buradan a+b-3=0 -(a-1)=1 ve c+4 =0 yazarız.

a=0 b=3 ve c=-4 elde edilir.

a+b+c=-0+3+(-4)=-1 elde edilir

SORU : f:R→R fonksiyon olduğuna göre f(x+1)=(x+1).f(x) ve f(1)=2 ifaderleri verilsin.
Buna göre f(5) değeri kaçtır ?

Çözüm: Merdiven tipi fonksiyon soruları çözülürken soruda bize verilen f(1)=2 ifadesi kullanılıp değer veririz.

x=1 için f(2)=2.f(1) olur. f(1)=2 olduğundan yerine yazalım. f(2)=4 olur.

x=2 için f(3)=3.f(2) olur. f(2)=4 olduğundan yerine yazalım. f(3)=12 olur.

x=3 için f(4)=4.f(3) olur. f(3)=12 olduğundan yerine yazalım. f(4)=48 olur.

x=4 için f(5)=5.f(4) olur. f(4)=48 olduğundan yerine yazalım. f(5)=240 olur.

SORU : f(2x-7)=x³ -3x² +4 olduğuna göre f(1) kaçtır ?

Çözüm: f(1) sorulduğuna göre parantez içi ifadenin 1 olması gerekir. 1 olması için gereken x değerini bulmalıyız. Eşitleyerek kolaylıkla bulabiliriz. Deneme yanılmayla zaman kaybetmeyin bazı pratik çözümlerde kullanabilirsiniz.

2x – 7 = 1 ise 2x = 8 ve 2x = 2³ tabanlar aynı üslerde aynı olmalıdır. x=3 bulduk. Bundan sonra fonksiyonda x gördüğümüz yere 3 yazıp sonucu bulalım.

f(2³-7) = 3³-3.3²+4

f(1 )= 27-27+4=4 olur.

SORU : g(x) = 2x-4 ve (gof)(x) = 6x+10 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
(Bileşke Fonksiyon)

Çözüm: Öncelikle bir iki özellik hatırlayalım (fog)(x)=f(g(x)) şeklinde yazılıp g(x) sonksiyonu f fonksiyonu içine alınabilir.

(gof)(x)=6x+10

g(f(x))=6x+10

g fonksiyonun kuralı 2x-4 yani 2 ile çarp 4 çıkart bunu f(x) için uygulayalım.

g(f(x))=2f(x)-4=6x+10

2f(x)-4=6x+10

2f(x)=6x+14 her yanı 2 ile bölelim.

f(x)=3x+7 olur