STANDART SAPMA

STANDART SAPMA

 

   Standart sapma, verilerin aritmetik ortalamaya göre nasıl bir yayılım gösterdiğini anlatır.

İki veri grubunun aritmetik ortalamaları eşit veya birbirine yakınsa,gruplar hakkında net bir ifade oluşmayabilir.

Bu durumda standart sapmasına bakılır.

Standart sapma ne kadar küçük çıkarsa o kadar güvenilirdir, tutarlıdır, başarılıdır.

Merkezi Eğilim Ölçüleri

  * Aritmetik ortalama
* Medyan (ortanca)
* Mod (tepe değer)

Merkezi Yayılma Ölçüleri

  * Açıklık
* Çeyrekler açıklığı
* Standart sapma

STANDART SAPMA NASIL HESAPLANIR?

1) Verilerin aritmetik ortalaması bulunur.
2) Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
3) Bulunan farkların her birinin karesi alınır ve elde edilen sayılar toplanır.
4) Bu toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve bölümün karekökü bulunur.

Örnek Soru 1:

Gün 1.Koşucu 2.Koşucu
1 6 9
2 4 4
3 6 6
4 7 6
5 6 3
6 5 5
7 8 8
8 6 2
9 5 10
10 7 7

Yukarıda 2 koşucunun 10 puan üzerinden performansları verilmiştir.Burada hangi koşucunun daha başarılı olduğunu bulalım.

1.Koşucu:

Madde 1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6


Madde 2:
 veri – aritmetik ortalama

6-6 = 0
4-6 =-2
6-6 = 0
7-6 = 1
6-6 = 0
5-6 =-1
8-6 = 2
6-6 = 0
5-6 =-1
7-6 = 1


Madde 3:
 farkların karesi toplanır.

0+4+0+1+0+1+4+0+1+1=12


Madde 4: 
12 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

12 / 10-1= 12 / 9= 1,3

1,3 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 1,14 olur.

Standart sapma 1. koşucu için yaklaşık 1,14

2.Koşucu:

Madde1: Aritmetik ortalama:sayıların toplamı / sayıların adedi

Aritmetik ortalama:60 / 10 = 6

Madde 2: veri – aritmetik ortalama

9-6 = 3
4-6 =-2
6-6 = 0
6-6 = 0
3-6 =-3
5-6 =-1
8-6 = 2
2-6 =-4
10-6=4
7-6 = 1

Madde 3: farkların karesi toplanır.

9+4+0+0+9+1+4+16+16+1=60

Madde 4: 60 sayısı veri sayısının 1 eksiğine bölünür.

60 / 10-1= 60 / 9= 6,6

6,6 kökün içine alınır ve kök dışına çıkartılır. Buda 2,57 olur.

Standart sapma 2. koşucu için yaklaşık 2,57

Burada 1.koşucunun standart sapması daha düşük olduğu için tutarlıdır.

Yani 1.koşucu daha başarılıdır.

Örnek Soru 2:

8-A ve 8-B sınıfında 3 er tane öğrencinin sınava girdiğini düşünelim.

Bu öğrencilerin Sınavın Matematik bölümünden yaptığı netler;

8-A için 14,10 ve 21 olsun.

8-B için 14,15,16 olsun

Hangi sınıf daha başarılı dediğimizde büyük ihtimal birşey söyleyemeyiz.

8-A sınıfında hem en yüksek puanı alan öğrenciler var, hem de en düşük puanı alan öğrenciler var.

Ama 8-B sınıfındaki öğrenciler de birbirine yakın puanlar almış.

Hangi sınıfın daha iyi olduğunu söylemek için ortalamalara bakalım.

8-A nın aritmetik ortalaması: (14+10+21)/3= 15 olarak bulunur.

8-B nın aritmetik ortalaması: (14+15+16)/3= 15 olarak bulunur.

Peki hangi sınıf daha iyi belli mi ?

Hala cevabımız hayır.

O halde standart sapmayı devreye sokalım.

Peki nasıl hesaplanacak ?

1) Önce her bir net ile ortalamanın farkı alınacak

2) Her farkın karesi alınacak

) Bu kareler toplanacak

4)Karelerin toplamından elde edilen sonuç sınava giren kişilerin bir eksiğine bölünecek.

5) Oradan da çıkan sonucun karekökü bulunacak.

Yukarıdaki örneklerin standart sapmasını aşağıda hesaplayalım.

Tekrar edelim;

ortalamaları her ikisinde de 15 bulmuştuk.

8-A için; 15 ile 10 un 14 ün ve 21 in farkını bulup tek tek karelerini aldık ve topladık.

Ardından 3 kişi vardı. 1 eksiği olan 2 ye böldük.

Sonucun da karekökünü aldık.

Peki neden sonuçlar farklı çıktı ?

  • 8-A sınıfının standart sapması 5,56
  • 8-B sınıfının standart sapması 1 dir.

Anlamı nedir?

Eğer sayılarımız aritmetik ortalamadan çok uzaklardaysa standart sapma büyür.

8-A daki sayılarımız 10,14 ve 21 idi. Ortalama olan 15 ten ikisi çok uzak.Bu nedenle farklar büyüdü, fark büyüyünce kareler büyüdü, sonuç olarak standart sapma büyüdü.

8-B sınıfında ise sayılarımız 14,15 ve 16 idi.
Ortalama olan 15 bu sayıların 3 üne de çok yakın. bu nedenle farklar küçük kaldı ve standart sapma çok büyümedi.

Standart sapmanın büyük veya küçük olması neyi ifade eder ?

  • Yukarıdaki örneklerde de gördüğümüz gibi standart sapma birincide büyük çıkmıştı. Bu bize güvensizlik verir.Yani sayılar arasında uçurum olduğunu düşünebiliriz.

Bir ülkedeki isnanların ya çok zengin ya da çok fakir olduğunu düşünün.Bu da ona benzer. Ortada bir güvensizlik ve düzen bozukluğu vardır.

  • İkincisinde ise standart sapma küçük çıktı, bu ise bize sayıların birbirine çok yakın olduğunu gösterir. Yani bir ülkedeki isnanların maddi durumunun birbirine yakın olduğunu ve işlerin yolunda yürüdüğünü gösterir.
ÇIKMIŞ SORULAR VE ÇÖZÜMLERİ