Başarıya daha kolay ulaşmak için sizinde bir eğitim koçunuz olsun.
Eğitim koçluğu hakkında bigi için TIKLAYIN

 MATEMATİK


    KONU ANLATIMLARI

    ÇÖZÜMLÜ SORULAR
          saat
 
 
 


DERSLERİN ÜZERİNE TIKLAYARAK AÇABİLİRSİNİZ


 
yazılılar
zeka
IQ

  

                                                                            MUTLAK DEĞER

        
A. TANIM

Sayı doğrusu üzerinde x reel (gerçel) sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.

|x| biçiminde gösterilir.

Bütün x gerçel (reel) sayıları için, |x| küçük eşittir 0 dır.

 

B. MUTLAK DEĞERİN ÖZELİKLERİ

 

  1.  *  |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.

  2.  *  |x × y| = |x| × |y|

     * |xn| = |x|n

  3.  * y esit degildir 0 olmak üzere ,

                  

               * |x| – |y| <= |x + y| <= |x| + |y|

               * |x| = a ise,     x = a veya x = –a dır.

  1.  * |x| = |y| ise, x = y    veya    x = –y dir.
  2. * x   değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,
 

                  |x – a| + |x – b|

               ifadesinin en küçük değeri a £ x £ b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur.

 

öRNEK    x değişken a ve b sabit birer reel (gerçel) sayı ve

                    K = |x – a| – |x – b|           olmak üzere,

                   x = a için K nin en küçük değeri, x = b için K nin en büyük değeri bulunur.

 

öRNEK     a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

                   a) |x| < a ise, –a < x < a dır.

                   b) |x| £ a ise, –a £ x £ a dır.

 

öRNEK    a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere,

                 a) |x| > a ise, x < –a veya x > a dır.

                 b) |x| ³ a ise, x £ –a veya x ³ a dır.

                  a < b ve c Î olmak üzere,

     

öRNEK

|x + a| + |x + b| = c

eşitliğinin çözüm kümesini bulmak için 2 yöntem vardır.

1. Yöntem

Mutlak değerlerin içlerinin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise, x = –a dır.

x + b = 0 ise, x = –b dir.

Buna göre, üç durum vardır. (–b < –a olsun.)

–b < x,        –b < x<–a      ve      x > –a        dır. Bu üç durumda inceleme yapılır.

1. Durum

–b < x     ise, –x – a – x – b = c olur. Bu denklemin kökü –b < x koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

2. Durum

–b < x < –a ise,              –x – a + x + b = c     olur.

Bu denklemin kökü           –b < x <–a       koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3. Durum

x > –a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminin kökü x > –a koşulunu sağlıyorsa, verilen denklemin de köküdür.

3 durumdan elde edilen köklerin oluşturacağı küme, verilen denklemin çözüm kümesidir.

 

2. Yöntem

 

a < b ve c Î olmak üzere,

      |x + a| + |x + b| = c ... ()

eşitliğinin çözüm kümesinde aşağıdaki üç durum geçerlidir.

(x + a = 0 ise, x = –a) ve (x + b = 0 ise, x = –b)

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c ye eşit ise,

 

() daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç = [–b, –a] dır.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den büyük ise,

 

() daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç = Æ dir.

  1. Sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık c den küçük ise,

() daki denklemi sağlayan iki sayı vardır. Bu sayıları bulmak için, c den, sayı doğrusunda –b ile –a arasındaki uzaklık çıkarılır, farkın yarısı bulunur. Son bulunan değer D olsun. Buna göre, () daki denklemi sağlayan sayılardan biri –b – D diğeri –a + D dir. Bu durumda () daki denklemin çözüm kümesi,

      Ç {–b – D, –a + D} olur.

 

                                                                    ÇÖZÜMLÜ SORULAR

 

Soru 1 :   I x-7 I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:
                      I x-7 I < 3 
                  =  -3 < x-7 < 3
                 =  -3+7 < x < 3+7
                 = 4 < x< 10
                Ç:{5,6,7,8,9,}


Soru 2 :    I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm:

I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
= -1 < Ix-5I -1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
= 0 < x < 10
Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.




Soru 3 : I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm:  I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
= -2+7 < 2x < 2+7
= 5 < 2x < 9
= 5/2 < x -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.



Soru 4 : I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?

a) 0<x<2           b) -2<x<4               c) -1<x<0           d) 0<x<2           e) 2<x<4

Çözüm:I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
= -9+3 < 3x < 9+3
= -6 < 3x < 12
= -6/3 < x < 12/3
= -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)


Soru 5 : 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?

Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
= 1+2 < x < 3+2
= 3 < x -2<x x > 2 veya x x-1=3 veya x - 1 = -3
x = 4 veya x = -2 dir.
Soru 6 : a<b<0 x - 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
x = 8 veya x = 2
x = 8 veya x =- 8 veya
x = 2 veya x =- 2 dir.
Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
Soru 7 : ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
x-1 = - 10 olamayacağından kök yoktur.
x-1 = 2 ise x - 1 = 2 veya x - 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
Ç.K = {-1,3}

Soru 8 : I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
*** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.


Soru 9 :: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.

Çözüm:  I Ix-4I –5 I = 10
Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
Ç = {O}
x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14


Soru 10 : I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14

Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8
I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
Ç = {O}
x-1 = 3 veya x-1 = -3
x = 4 veya x = -2
x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)


Soru 11 : I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

Çözüm:  I Ix-2I-3 I = 7
Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
Ç = {O}
x-2 = 10 veya x-2 = -10
x = 12 veya x = -8
x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)

Soru 12 : I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

Çözüm:
I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I
= I 7-[3-5] I
= I 7-(-2) I
= I 7+2 I
= I 9 I = 9

Soru 13 : I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?

a) 3,6,-3,-6         b) 4,8,-3,-8            c) 7,9,5           d) 8,-4,6,-2           e) 2,-2

Çözüm:  I Ix-2I-5 I

Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
x = 8 x = -4 x = 6 x = -2


Soru 14 : Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)

Çözüm:
Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
= -6 < x < 2
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)



Soru 15 : I x+2 I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
A) 13      B) 9      C) 8      D) 7      E) 6                                                    (1999-ÖSS)

Çözüm:
   I x+2 I < 4   ise          -4 < x + 2 < 4
                                           -4-2 < x+2-2 <  4-2
                                           -6 < x < 2
x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır.
Cevap: B'dir.

                    ÇIKMIŞ SORU VE ÇÖZÜMLERİ
1.

2.


3.

4.


5.

6.


7.

8.


9.

10.


11.


12.


33.


14.

15.


16.

17.


                                     ÇÖZÜMLERİ
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.


14.


15.

16.


17.


Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir.

5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik (Resmi Gazete Kabul Tarihi : 3.3.2004) ile

kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre
hakkı ihlal edilen öncelikle
üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır.

Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.

 

          


 


                                              www.alkanhoca.com