Başarıya daha kolay ulaşmak için sizinde bir eğitim koçunuz olsun.
Eğitim koçluğu hakkında bigi için TIKLAYIN

 MATEMATİK


    KONU ANLATIMLARI

    ÇÖZÜMLÜ SORULAR
          saat
 
 
 


DERSLERİN ÜZERİNE TIKLAYARAK AÇABİLİRSİNİZ


 
yazılılar
zeka
IQ

  

BAĞINTI VE FONKSİYONLAR


A. TANIM
A ¹Æ ve B ¹Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
***Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
***Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
*** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
*** Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹Æ olmak üzere,
 
fonksiyonları tanımlansın.
1.    (f + g) : A Ç B ®  , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2.    (f – g) : A Ç B ®  , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3.    (f × g) : A Ç B ®  , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4.    "x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,



1.    c Î   olmak üzere,
(c × f) : A ®  , (c × f)(x) = c × f(x) tir.


C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
Buna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f  fonksiyonu bire birdir.
*** s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,


2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

*** f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
*** İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
   

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
*** "x Î A ve c Î B için,
     
f : A ® B
     
f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
*** Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
*** Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
       f : A ® B
        g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON
       f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
 
biçiminde gösterilir.
 
F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.

*** (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
*** f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.
 
*** f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.

 

*** f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.

f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

 

 


*** y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

 

***  

olmak üzere,


 


***  olmak üzere,

 


G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

 

 


Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.

*** Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. 
*** Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.

 

*** I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dır.
*** f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
*** (fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.

 

***

•  f–1 (x) = f(x) tir.
•  (fof) (x) = x
•  (fofof) (x) = f(x)
•  (fofofof) (x) = x
...
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
 
(a, b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f–1(b) = a dır.

 

Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

 

 

                                                                   ÇÖZÜMLÜ SORULAR


SORU : f:A→R , f(x)=2x+3 ve A={-1,0,1,2,3} olduğuna göre f(A) görüntü kümesi nedir?

Çözüm: f(x)=2x+3  olduğundan bize sorulan f(A)=2A+3  budur.

x=-1 için   f(-1)=2.(-1)+3 = 1

x=0 için    f(0)=2.(0)+3 =3

x=1 için f(1)= 2.(1)+3=5

x=2  için f(2)=2.(2)+3=7

x=3 için f(3)=2.(3)+3 =9

Buradan görüntü kümesi  ;   f(A)={1,3,5,7,9}  bulunur.

 

 

SORU :f(x)=3x ise  f(2x+3) fonksiyonunun  f(x)  türünden eşiti nedir ?

Çözüm: f(2x+3) fonksiyonunda x gördüğümüz yere 2x+3 yazalım. Yani ;

 f(2x+3)=32x+3 olur. Burdan üslü ifadeyi düzenleyelim  f(2x+3)=32x.33 =(3x)2.27

Sorunun başında f(x)=3x olduğu verilmiş buna göre   f(2x+3)=(3x)2.27=(f(x))227

Düzenlersek     f(2x+3)=27.f(x)2     veya   f(2x+3)=27.f2(x)


SORU :  fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a+b+c 
toplamı kaçtır ?

Çözüm: Birim fonksiyon  için f(x)=x olmalıdır.

buradan   a+b-3=0   -(a-1)=1   ve c+4 =0  yazarız.

a=0   b=3  ve c=-4 elde edilir.

a+b+c=-0+3+(-4)=-1 elde edilir


SORU :  fonksiyonu veriliyor buna göre 

 

Çözüm:        

olduğu görülür.         buradanda;

  
bulunur.


SORU :f:R→R    fonksiyon olduğuna göre   f(x+1)=(x+1).f(x)      ve   f(1)=2  ifaderleri verilsin.
Buna göre  f(5) değeri kaçtır ?

Çözüm:  Merdiven tipi fonksiyon soruları çözülürken soruda bize verilen  f(1)=2   ifadesi kullanılıp değer veririz.

 x=1     için f(2)=2.f(1)   olur.  f(1)=2  olduğundan yerine yazalım.   f(2)=4  olur.

x=2     için f(3)=3.f(2)   olur.  f(2)=4  olduğundan yerine yazalım.   f(3)=12 olur.

x=3     için f(4)=4.f(3)   olur.  f(3)=12  olduğundan yerine yazalım.  f(4)=48 olur.

x=4     için f(5)=5.f(4)   olur.  f(4)=48  olduğundan yerine yazalım.  f(5)=240 olur.

SORU : f(2x-7)=x3-3x2+4 olduğuna göre f(1) kaçtır ?

 

Çözüm: f(1)  sorulduğuna göre parantez içi ifadenin 1 olması gerekir. 1 olması için gereken x değerini bulmalıyız. Eşitleyerek kolaylıkla bulabiliriz. Deneme yanılmayla zaman kaybetmeyin bazı pratik çözümlerde kullanabilirsiniz.

2x-7=1   ise   2x=8     ve   2x=23  tabanlar aynı üslerde aynı olmalıdır. x=3  bulduk. Bundan sonra fonksiyonda x gördüğümüz yere 3 yazıp sonucu bulalım.

f(23-7)=33-3.32+4

f(1)=27-27+4=4  olur.

 

SORU : g(x)=2x-4 ve (gof)(x)=6x+10 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir ? (Bileşke Fonksiyon)

Çözüm: Öncelikle bir iki özellik hatırlayalım    (fog)(x)=f(g(x))  şeklinde yazılıp g(x) sonksiyonu f fonksiyonu içine alınabilir.

(gof)(x)=6x+10

g(f(x))=6x+10

g fonksiyonun kuralı 2x-4  yani 2 ile çarp 4 çıkart bunu f(x) için uygulayalım.

g(f(x))=2f(x)-4=6x+10    

2f(x)-4=6x+10 

2f(x)=6x+14   her yanı 2 ile bölelim.

f(x)=3x+7  olur

 

                                      

 

 

                    ÇIKMIŞ SORU VE ÇÖZÜMLERİ
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.

10.


11.

12.


13.

14.


15.

16.


17.

18.


19.

20.


21.

22.


23.

24.


25.

26.


27.

28.

 

                                     ÇÖZÜMLERİ
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.


13.


14.





15.


16.




17.



18.


19.


20.


21.


22.

 



23.


24.



25.


26.


27.


28.


Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir.

5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik (Resmi Gazete Kabul Tarihi : 3.3.2004) ile

kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre
hakkı ihlal edilen öncelikle
üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır.

Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.

 

          


 


                                              www.alkanhoca.com