Başarıya daha kolay ulaşmak için sizinde bir eğitim koçunuz olsun.

Eğitim koçluğu hakkında bigi için TIKLAYIN

 MATEMATİK


                  KONU ANLATIMLARI

                  ÇÖZÜMLÜ SORULAR
          saat
 
 
 
   
yazılılar
zeka
IQ

TRİGONOMETRİ

 

 

AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

 

B. YÖNLÜ AÇI

Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.

Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.

 

Kural

Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.

Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.

Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

 

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı, biçiminde gösterilir.

nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. Şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, da pozitif yönlüdür.

Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

 

D. BİRİM ÇEMBER

Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.

Birim çemberin denklemi:

 

E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ

Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.

Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve radyandır.

1. Derece

Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.

2. Radyan

Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

 

Uyarı

Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan olduğu için, 360° = 2p radyan dır.

 

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

 

F. ESAS ÖLÇÜ

olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × 360° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,

olmak üzere, ölçüsü

a + k × 360°

olan açının esas ölçüsü a derecedir.

 

Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aralığındadır.

Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır.

nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.

a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir.

 

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

 

KOSİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olmak üzere, P noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

x = cosa dır.

Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 < cosa <1 dir.

 

SİNÜS FONKSİYONU

Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. P noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

y = sina

Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

–1 < sina < 1 dir.

 

Sonuç

Şekilde,

A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.

B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.

C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.

D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.

 

Kural

Şekilde,

x = cosa, y = sina

|OK| = sina ve

|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;

|OH|2 + |PH|2 = 12

cos2a + sin2a = 1 dir.

 

Kural

 

Uyarı

cosa nın işaretinin sina nın işaretine bölümü cota nın işaretini; sina nın işaretinin cosa nın işaretine bölümü tana nın işaretini verir.

4 bölgede de tana ile cota nın işareti aynıdır.

 

KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU

Birim çember üzerinde olmak üzere,

P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın ordinatına, a reel (gerçel) sayısının kosekantı denir ve csca ile ya da coseca gösterilir.

P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği noktanın apsisine, a reel (gerçel) sayısının sekantı denir ve seca ile gösterilir.

c = coseca

s = seca

Kural

 

Sonuç

 

DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

 

BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

Sonuç

Ölçüleri toplamı 90° olan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre,

Bazı dar açıların trigonometrik değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerlerin çok iyi bilinmesi soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı aynı olur.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı farklı olur. Bu farklılık, sinüs için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için kotanjant, kotanjant için de tanjanttır.

 

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa sembolünü yazarız.

4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.

 

A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

 

B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve

örtendir.

  fonksiyonu bire bir ve

örtendir.

 

 

C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

 

III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. ARKSİNÜS FONKSİYONU

 

f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir ve

 

ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı

[0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

f : [0, p] ® [–1, 1]

f(x) = cosx

fonksiyonunun tersi,

f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx

şeklinde gösterilir ve

arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.

 

ARKTANJANT FONKSİYONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı

alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir ve

 

ARKKOTANJANT FONKSİYONU

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,

şeklinde gösterilir.

Sonuç

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.

sin(arcsinx) = x tir.

cos(arccosx) = x tir.

tan(arctanx) = x tir.

cot(arccotx) = x tir.

Sonuç

q = arcsinx ise, x = sinq dır.

q = arccosx ise, x = cosq dır.

q = arctanx ise, x = tanq dır.

q = arccotx ise, x = cotq dır.

 

 

ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

A. SİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,

 

B. KOSİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

 

 

C. ÜÇGENİN ALANI

Sonuç

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,

 

 

İKİ YAY TOPLAMININ veya FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

Kural

Uyarı

 

Kural

olmak üzere, a × sinx + b × cosx in alabileceği;

en büyük değer

en küçük değer dir.

 

YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Kural

 

DÖNÜŞÜM ve TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

Uyarı

 

TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

 

 

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇIKMIŞ SORU VE ÇÖZÜMLERİ

 

1

2


3


4

5
6

7

8

9
10

11
12

13
14

15
16

17
18

19
20

21
22

23
 

 

 

 

ÇÖZÜMLERİ

 

1

2

3

4

5
6

7
8

9

10

11


12


13

14

15

16


17

18

19

20

21

22

23


Tüm dokümanlar tanıtım amaçlıdır satışı yapılmadığı gibi hiçbir ticari menfaat gözetilmemektedir.

5846 Fikir ve Sanat Eserleri Kanununda Değişiklik (Resmi Gazete Kabul Tarihi : 3.3.2004) ile

kanunun 25. maddesinin ek 4. maddesine göre
hakkı ihlal edilen öncelikle
üç gün içinde ihlalin durulmasını istemek zorundadır.

Eğer ihlal edilen bir durum söz konusu ise iletişim birimlerinden lütfen bize ulaşınız.

 

          

 


 


                                              www.alkanhoca.com