RASYONEL SAYILAR

A. TANIM

a ve b tam sayı, b  0 olmak üzere,  şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı denir.

KURAL

ÖRNEK

KURAL

ÖRNEK

Negatif kesirlerde eksi ( – ) işareti paya, paydaya veya kesir çizgisinin önüne konulabilir.

                               

B. KESİR

Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarıyan sayılara 
kesir denir.

C. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar basit kesirdir.

KURAL

    pozitif basit kesir ise,

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

 birer tam sayılı kesirdir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

• 

• 

D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

2. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

• 

• 

Toplama İşlemi

işleminde önce paydalar eşitlenir.

paydalar eşitlendikten sonra paydaki sayılar toplanır ve paya yazılır.

(Burada tam sayılarda toplama işlemindeki öğrendiklerimizi kullanıyoruz.)

Ortak payda sonucun paydasına yazılarak sonuç bulunur.

yaparak sonuca ulaşıyoruz.

NOT: Tam sayılı kesirlerde toplama işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık kesirleri de rasyonel şekline çevirerek işlem yapabiliriz.

Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır.Yani toplanan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmez.

Rasyonel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği vardır. Yani üç veya daha fazla rasyonel sayı ile toplama işlemi yaparken, toplama işlemini önce istediğimiz iki sayı arasında  yapabiliriz.

Toplamları 0 olan iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Diğer bir ifade ile ters işaretli iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.

Çıkarma İşlemi


Çıkarma işleminde de tam sayılarda olduğu gibi toplamaya dönüştürerek yapabiliriz.

Önce paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Sonra çıkarma işlemi toplamaya dönüştürülür ve çıkan sayının işareti değiştirilir. En son olarak da toplama işlemi yapılır.

işleminde paydalar eşittir.

Şimdi çıkarmayı toplamaya dönüştürürüz ve çıkan sayının işaretini değiştiririz.

daha sonra payları toplarız.

 NOT: Tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemini bileşik kesre çevirerek yapabiliriz. Aynı şekilde ondalık kesirleri de rasyonel şekline çevirerek işlem yapabiliriz.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

3. Çarpma – Bölme İşlemi

• • 

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

Toplama ile çıkarma işlemi kendi arasında öncelik taşımaz. Aynı şekilde çarpma ile bölme işlemi de kendi arasında öncelik taşımaz. Özelikle çarpma ile bölme de öncelik söz konusu ise bu parantezle belirlenmiştir.

E. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesirdenir.

• 

• 

• 

ÖRNEK

ÖRNEK

                                   

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı  şeklinde yazarken;

Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.

Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.

a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

• 

• 

• 

• 

• 

ÖRNEK

  =>      49 – 4    =   45    =  5
9           9

F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenirse,payı büyük olan büyüktür.

                                                      

 

 

 

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paylar eşitlenirse,paydası büyük olan küçüktür.

                    

 

 

 

 

 

Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken, pozitif rasyonel sayılardaki gibi sıralama yapılır.Sonra sıralamanın tam tersi alınır.

 

 

 

Negatif ve pozitif rasyonel sayılar karışık verilirse yine payda eşitlenir.Negatif olanların daima küçük, pozitif olanların daima büyük olduğu unutulmamalıdır.

Rasyonel sayıları sıralarken sayı doğrusuna da kullanabiliriz. Sağdan kalanlar hep büyük olur, solda kalanlar hep küçük olur.

Örnek

Örnek

Örnek