PERMÜTASYON

 

Temel Sayma Kuralları

Toplama yoluyla sayma:
Ayrık iki işlemden biri a yolla diğeri b yola yapılıyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri a+b yolla yapılır.

Örnek:
5 gömleği, 7 kravatı olan Fatih bunlardan 1 gömlek veya 1 kravatı kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm:
a+b=5+7=12 farklı şekilde seçilir.

Çarpma yoluyla sayma:
Birinci olay a , bunu takip eden ikinci olay b değişik şekilde oluşuyorsa bu olayların tamamı a.b değişik şekilde seçilir.

Örnek:
Furkan’ın 5 gömleği,4 kravatı ve 3 gömleği vardır.Bunlar arasından bir gömlek,bir kravat ve bir pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm:
a.b.c=5.4.3=60 değişik şekilde seçim yapılır.

 

 

Permütasyon

Permütasyon; birbirinden farklı elemanların değişik şekillerde sıralanışını veya dizilişini gösterir.

Permütasyon soruları genellikle şu şekilde sorulur:
* Kaç türlü sıralanabilir?
* Kaç türlü yazılabilir?
* Kaç değişik şekilde oturabilirler?
* Kaç türlü dizilebilir yada poz verilebilir?
* Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir?
* Halka ve yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir?

TANIM
n ve r birer doğal sayı
r <= n   olmak üzere

n’ nin r’ li permütasyonlarının yani dizilişlerinin sayısı P(n,r) şeklinde gösterilir.

 

n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonlu gösterimi:

P(n,r)=(n!) / (n-r)!                veya               şeklindedir.

 

 

Bazı pratik (bilinmesi gereken) permütasyonlar
P(n,n)= n!
P(0,0)= 1
P(n,0)= 1
P(n,1)= n

 

Örnek:
Bir yarışta 8 kişi yarışıyor.İlk üç sıralama nasıl gerçekleşir?

Çözüm:

 

 

 

 

Örnek:
Bir odadaki 6 koltuğa 4 kişi kaç farklı şekilde oturur?

Çözüm:

 

 

 

Yatay sıralama:

n tane eleman yatay bir sıra boyunca n! farklı biçimde sıralanır.

Örnek:
2 erkek,3 kız öğrenci yatay bir sıra boyunca kaç değişik şekilde sıralanabilir?

Çözüm:
(2+3)!=5!=1.2.3.4.5=120 değişik şeklide sıralanır.

 

 

 

Dönel (dairesel) permütasyon:

n tane farklı eleman dairesel bir şeklin etrafına (n-1)! kadar değişik şekilde sıralanabilir.

Örnek:
5 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?

Çözüm:
(5-1)!=4!=1.2.3.4=24 değişik şekilde oturabilir.

 

 

 

Örnek:
Bir olimpiyat oyununda, erkekler  110 m engelli yarışına 8 atlet katılıyor.
Bu yarışta ilk üç sıralama kaç değişik şekilde gerçekleşebilir?

Çözüm:
8 yarışmacından biri birinci, kalan 7 yarışmacıdan biri ikinci ve kalan 6 yarışmacıdan biri de üçüncü olur.

Bu durumda ilk üç sıralama,
8.7.6=336 şekilde olabilir.

Bu hesaplamayı faktöriyel kullanarak tekrar ifade edelim

 

 

 

Örnek:

Üç marangoz; kayın, ladin, dişbudak, meşe ve ardıç ağaç çeşitlerinden birini kullanarak mobilya yapmak istiyorlar.
Marangozlardan her birinin farklı ağaç türü kullanarak kaç değişik şekilde seçim yapabileceklerini bulalım.

 

Çözüm:

5 çeşit ağaç vardır. Her bir marangoz birbirinden farklı birer ağaç çeşidi kullanacağından ilk marangoz 5 farklı, ikinci marangoz 4 farklı, üçüncü marangoz 3 farklı ağaç çeşidinden birini seçebilir.

Bu durumda üç marangoz   5 . 4 .3 = 60  farklı şekilde birer çeşit ağaç seçebilir.

 

Aynı sonuca 5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı permütasyonlarını kullanarak da ulaşabiliriz.

 

 

 

ÇÖZÜMLÜ SORULAR